문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 특수 상대성 이론 (문단 편집) == 축약과 내적, 기하학적 해석 == 한편으로 축약은 기하학적으로 스칼라 곱 혹은 내적과 같은 것으로 볼 수 있다. 3차원 유클리드 공간에서 두 벡터의 내적은 [math(\vec{v} \cdot \vec{w} = \sum_{i = 1}^3 v_i w_i)]로 주어지는 것임을 안다. 이 식은 사실 이렇게 쓸 수 있다. [math(\vec{v} \cdot \vec{w} = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n \delta_{ij} v_i w_j)] 물론 [math(\delta_{ij})]는 크로네커 델타로, 두 인덱스(i, j)가 같으면 1, 다르면 0인 값이다. 생략된 [math(\delta_{ij})]가 사실 '3차원 유클리드 공간'을 나타내 주는 것이라고 말할 수 있는 것이다. 모든 벡터 공간에는 이런 식으로 자연스럽게 내적을 정의할 수 있는데, 그 방법은 정말 다양하다. 그중 하나가 바로 3차원 유클리드 공간이고 물론 위 식에서 n을 4로 바꿔 쓰면 (혹은 n은 3으로 두고 맨 처음 인덱스만 1이 아닌 0으로 시작하게 하면) 저 식은 '4차원 유클리드 공간'에서의 내적이 되는 것이다. 다시 4차원에서 두 벡터의 축약을 보자. (이해를 돕기 위해 잠시 합 기호([math(\sum)])를 살렸다.) [math(\displaystyle A^\mu B_\mu = \sum_{\mu = 0}^3 \sum_{\nu = 0}^3 \eta_{\mu \nu} A^\mu B^\nu)] 위에서 쓴 유클리드 공간에서의 내적 식과 거의 똑같다. 다만 [math(\delta_{ij})]가 [math(\eta_{\mu \nu})]로 바뀌었을 뿐이다. 이것은 '4차원 유클리드 기하학'과 4차원 시공간의 기하학이 다르다는 것을 의미한다. 두 기하학이 다르다는 것은 위에서도 밝혔던 것이지만, 그것이 내적에서 드러나는 것으로 이해하는 것은 상대성 이론을 이해하는 데 있어서 매우 중요한 내용이다. 사실 내적이 이렇게 주어진다는 것 자체만으로도 관성 좌표계 간의 좌표 변환이 반드시 로런츠 변환이어야 한다는 것을 의미하기도 한다.[* 직접 임의의 두 벡터에 대해 좌표 변환을 해 보면 금방 알 수 있다. 그러면 좌표 변환을 시키는 행렬이 [math(A)]라고 했을 때 저 위에 쓴 [math(A^T J A = J)]가 만족되어야 함을 알 수 있는데, 이미 우리는 이걸 만족하는 행렬 [math(A)]가 (일반적인) 로런츠 변환 행렬이라는 것을 봤었다. 따라서 변환 행렬은 반드시 로런츠 변환 행렬이어야 한다.] 즉, 축약(내적)을 정한다는 것, 그러니까 내적 식에서 [math(\delta_{ij})] 혹은 [math(\eta_{\mu \nu})] 또는 다른 것들 중 어떤 것이 들어가느냐 함을 정한다는 것은 곧 관성 좌표계 간의 좌표 변환을 결정한다는 것이고, 한편으로는 (시)공간의 기하학적 성질을 결정지어 준다는 것이다. 그리고 [math(\delta_{ij})] 혹은 [math(\eta_{\mu \nu})] 자리에 뭐가 들어가느냐 하는 문제는 나중에 일반 상대성 이론에서 중요한 역할을 하게 된다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기